Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit
SPLK Eksplisit
Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut:
dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:
1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh
ax + b = px2 + qx + r
px2 + (q – a)x + (r – b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).
2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.
Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px2 + (q – a)x + (r – b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b2 – 4ac.
Diskriminan dari px2 + (q – a)x + (r – b) = 0 adalah D = (q – a)2 – 4p(r – b).
Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.
Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.
Jika D 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola
Jika D 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

b. y = -2x + 5
y = x2 + 6x + 21
Jawab :
Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x2 + 6x + 21 diperoleh
-2x + 5 = x2 + 6x + 21
x2 + 8x + 16 = 0
D = 82 – 4(1)( 16)
D = 64 – 64
D = 0
Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x – 4
y = x2 + 6x + 9
Jawab :
Substitusikan persamaan y = 3x – 4 ke persamaan y = x2 + 6x + 9 diperoleh
3x – 4 = x2 + 6x + 9
x2 + 3x + 13 = 0
D = 32 – 4(1)( 13)
D = 9 – 52
D = -43
Karena D <>

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8
y = x2 + 4x
Jawab:
Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x2 + 4x, diperoleh
2x + 8 = x2 + 4x
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 0
x = -4 atau x = 2
x = -4 y = 2(-4) + 8 = 0
x = 2 y = 2(2) + 8 = 12
Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x2 – 2x – 8.
Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola

Jawab:
a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x2 – 2x – 8, diperoleh
x + 2 = x2 – 2x – 8
x2 – 3x – 10 = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
x = -2 atau x = 5
x = -2 y = -2 + 2 = 0
x = 5 y = 5 + 2 = 7
Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)